Sekarang, kita akan membahas soal mengenai bab lingkaran yaitu tentang persamaan lingkaran dan kedudukan titik terhadap lingkaran yang merupakan materi kelas 11 SMA/ SMK. Kalian pasti pernah mempelajari tentang mencari luas dan keliling lingkaran saat SMP, bukan? Materi saat SMP bisa jadi bekal untuk mempelajari materi di tingkat selanjutnya. Agar kalian paham kita langsung saja membahas 18 soal di bawah in
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan mempunyai r = 2√3!
Pembahasan :
x²+y² = r²
x²+y² = (2√3)²
x²+y² = 4.3
x²+y² = 12
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x²+y² = 12.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan melalui titik (-2,3)!
Pembahasan :
x²+y² = r²
r² = x²+y²
r² = (-2)²+3²
r² = 4+9
r² = 13
x²+y² = r²
x²+y² = 13
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x²+y² = 13.
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan menyinggung garis y = -6!
Pembahasan :
Karena lingkaran berpusat di titik (0,0) dan menyinggung garis y di titik -6, jari- jari lingkaran dapat dicari dengan menghitung jarak dari titik pusat sampai titik singgung. Jadi, Hari-hari lingkaran tersebut adalah 6.
x²+y² = r²
x²+y² = 6²
x²+y² = 36
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x²+y² = 36.
4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (2,-3) dan mempunyai r = √10!
Pembahasan :
(x-a)²+(y-b)² = r²
(x-2)²+(y-(-3))² = (√10)²
(x-2)²+(y+3)² = 10
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x-2)²+(y+3)² = 10.
5. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (-3,1) dan menyinggung garis y+3 = 0!
Pembahasan :
Jari-jari lingkaran tersebut adalah 3+1=4
(x-a)²+(y-b)² = r²
(x-(-3))²+(y-1)² = 4²
(x+3)²+(y-1)² = 16
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x+3)²+(y-1)² = 16.
6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (2,0) dan melalui titik (2,4)!
Pembahasan :
(x-a)²+(y-b)² = r²
(2-2)²+(4-0)² = r²
r² = 0²+4²
r² = 16
(x-a)²+(y-b)² = r²
(x-2)²+(y-0)² = 16
x²-4x+4+y² = 16
x²+y²-4x+4-16 = 0
x²+y²-4x-12 = 0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x-2)²+(y-0)² = 16 atau x²+y²-4x-12 = 0.
7. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x dan y dengan titik pusat pada kuadran III dan berjari-jari 3!
Pembahasan :
Karena lingkaran berada di kuadran III (bernilai negatif) dan menyinggung sumbu x dan y serta berjari-jari 3, maka titik pusat lingkaran adalah (-3, -3).
(x-a)²+(y-b)² = r²
(x-(-3))²+(y-(-3))² = 3²
(x+3)²+(y+3)² = 9
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x+3)²+(y+3)² = 9.
8. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut x²+y²-8x+6y = 0!
Pembahasan :
Pusat lingkaran tersebut adalah:
( - ½ A, - ½ B) = ( - ½ (-8), - ½ 6) = ( 4, -3).
Jari - jari lingkaran dihitung dengan :
r = √ ¼A² + ¼B² - C
= √ ¼(-8)² + ¼ 6² - 0
= √ 16 + 9
= √ 25
= 5
Jadi, lingkaran tersebut berpusat di titik (4, -3) dan berjari-jari 5.
9. Lingkaran x²+y²-4x+2y+c = 0 melalui titik (0, -1). Tentukan jari-jarinya!
Pembahasan :
Pusat lingkaran tersebut adalah:
( - ½ A, - ½ B) = ( - ½ (-4), - ½ 2) = ( 2, -1).
Menghitung nilai C, dengan mensubstitusikan titik (0, -1) yang diketahui ke (x,y) persamaan lingkaran:
0²+(-1)²-4(0)+2(-1)+c = 0
0+1-0-2+c = 0 -1 = -c
1 = c
c = 1
Jari-jari lingkaran dihitung dengan:
r = √ ¼A² + ¼B² - C
= √ ¼(-4)² + ¼ 2² - 1
= √ 4+ 1 -1
= √ 4
= 2
Jadi, jari-jari lingkaran tersebut adalah 2.
10. Lingkaran x²+y²-4x+6y+m = 0 berjari-jari 5. Tentukan nilai m!
Pembahasan :
r = √ ¼A² + ¼B² - C
5 = √ ¼(-4)² + ¼ 6² - m
5 = √ 4+ 9 -m
5² = (√ 13-m) ²
25 = 13-m
m = 13-25
m = -12
Jadi, nilai m adalah -12.
11. Lingkaran x²+y²+2px+6y+4 = 0 mempunyai jari-jari 3 dan menyinggung sumbu x. Tentukan pusat lingkaran!
Pembahasan :
r = √ ¼A² + ¼B² - C
3 = √ ¼(2p)² + ¼ 6² - 4
3 = √ p²+ 9 -4
3² = ( √ p²+ 9 -4 ) ²
9 = p²+9-4
9 = p²+5
p² = 9-5
p = √4
p = 2
Pusat lingkaran tersebut adalah:
( - ½ A, - ½ B) = ( - ½ 2p, - ½ 6) = ( - ½ 2(2), - ½ 6) = ( -2, -3).
Jadi, pusat lingkaran tersebut berada di titik ( -2, -3 ).
12. Lingkaran x²+y²+6x+6y+c = 0 menyinggung garis x = 2, tentukan nilai c!
Pembahasan :
Karena titik pusat berada di titik (-3, -3) dan menyinggung garis x = 2, maka jari-jari nya adalah 5
r = √ ¼A² + ¼B² - C
5 = √ ¼ 6² + ¼ 6² - c
5 = √ 9+ 9 - c
5² = (√ 18-c) ²
25 = 18-c
c = 18-25
c = -7
Jadi, nilai m adalah -7.
13. Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya terletak pada garis x = 2 dan menyinggung sumbu y dititik (0, 3)!
Pembahasan :
Karena pusat lingkaran terletak di garis x = 2 dan menyinggung sumbu y di titik (0, 3), maka jari-jarinya adalah 3.
(x-a)² + (y-b) ² = r²
( x-2)² + (y-0)² = 3²
( x-2)² + (y-0)² = 9
x²-4x+4+y² = 9
x²+y²-4x+4-9 = 0
x²+y²-4x-5 = 0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah ( x-2)² + (y-0)² = 9 atau x²+y²-4x-5 = 0.
14. Tentukan persamaan lingkaran yang konsentris (sepusat) dengan lingkaran x²+y²-4x+12y-2 = 0 dan melalui titik A (-1, 5)!
Pembahasan :
Titik pusatnya adalah:
(-½ A, -½ B) = (-½ (-4), -½ 12)
= ( 2, -6)
(x-a)² + (y-b)² = r²
(-1-2)² + (5-(-6))² = r²
(-3)² + (11)² = r²
9 + 121 = r²
130 = r²
(x-a)² + (y-b)² = r²
(x-2)² + (y-(-6))² = 130
(x-2)² + (y+6)² = 130
x²-4x+4+y²±12y+36 = 130
x²+y²-4x+12y+4+36-130 = 0
x²+y²-4x+12y-90 = 0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x-2)² + (y+6)² = 130 atau x²+y²-4x+12y-90 = 0.
15. Tentukan posisi titik (4, -4√3) terhadap lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari 8!
Pembahasan :
Persamaan lingkaran:
x²+y² = r²
x²+y² = 8²
x²+y² = 64
Posisi titik adalah:
x²+y² = 64
4² + (-4√3)² = 64
16 + (16.3) = 64
16 + 48 = 64
64 = 64 (kedudukan titik terletak pada lingkaran)
Jadi, kedudukan titik (4, -4√3) terhadap lingkaran x²+y² = 64, terletak pada lingkaran.
16. Tentukan posisi titik (1, -2) terhadap lingkaran (x-1)²+(y-2)² = 16 !
Pembahasan :
(x-1)²+(y-2)² = 16
(1-1)²+(-2-2)² = 16
16 = 16 (kedudukan titik terletak pada lingkaran)
Jadi, kedudukan titik (1, -2) terhadap lingkaran (x-1)²+(y-2)² = 16, terletak pada lingkaran.
17. Tentukan posisi titik (1, 2) terhadap lingkaran x²+y²+4x-8y-5 = 0 !
Pembahasan :
x²+y²+4x-8y-5 = 0
1²+2²+4(1)-8(2)-5 = 0
1+4+4-16-5 = 0
-12 < 0 (titik terletak di dalam lingkaran)
Jadi, kedudukan titik (1, 2) terhadap lingkaran x²+y²+4x-8y-5 = 0, terletak di dalam lingkaran.
18. Tentukan nilai p jika titik ( -5, p) terletak pada lingkaran x²+y²+2x-5y-21 = 0 !
Pembahasan :
x²+y²+2x-5y-21 = 0
(-5)²+p²+2(-5)-5(p)-21 = 0
25+p²-10-5p-21 = 0
p²-5p-6 = 0
(p-6) (p+1) = 0
p = 6 p = -1
p = { -1, 6 }
Jadi, nilai p yang memenuhi pernyataan diatas adalah { -1, 6 }.
Diatas telah kita bahas 19 soal mengenai bab lingkaran di kelas 11 SMA/ SMK. Semoga pembahasan ini dapat membantu kalian dalam memahami materi lingkaran terutama dalam menentukan persamaan lingkaran dan mencari kedudukan titik terhadap lingkaran.
Sangat membantu dalam pembelajaran daring ini
ReplyDeleteTerima kasih atas apresiasinya, apresiasi anda sangat membantu perkembangan blog kami
Deleteterimakasih banyak, latihan soalnya sangat membantu
ReplyDeleteTerima kasih atas apresiasinya, apresiasi anda sangat membantu perkembangan blog kami
Delete